フラクタル次元
無限の世界には，有限の世界と違って，
我々が予想もつかないような不思議なことが起こる。
正三角形\( \rm{ ABC }\) において，\( \rm{ AB, AC }\) の中点をそれぞれ
\( \rm{ P_{1}^{(1)}, P_{2}^{(1)} } \) とし，
\( \rm{ BC } \) の中点を \( \rm{ Q_{1}^{(0)} } \) とする。次に，
\( \rm{ P_{1}^{(1)}B, P_{1}^{(1)}Q_{1}^{(0)}, P_{2}^{(1)}Q_{1}^{(0)}, P_{2}^{(1)}C } \)の中点をそれぞれ
\( \rm{ P_{1}^{(2)}, P_{2}^{(2)}, P_{3}^{(2)}, P_{4}^{(2)} } \) とし，
\( \rm{ BQ_{1}^{(0)}, Q_{1}^{(0)}C } \) の中点をそれぞれ
\( \rm{ Q_{1}^{(1)}, Q_{2}^{(1)} } \) とする。
このとき，関係
\begin{eqnarray}
\rm{AB} + \rm{AC}
&=& \rm{P_{1}^{(1)}B} &+& \rm{P_{1}^{(1)}Q_{1}^{(0)}} + \rm{P_{2}^{(1)}Q_{1}^{(0)}} + \rm{P_{2}^{(1)}C } \nonumber \\
&=& \rm{P_{1}^{(2)}B} &+& \rm{P_{1}^{(2)}Q_{1}^{(1)}} + \rm{P_{2}^{(2)}Q_{1}^{(1)}} + \rm{P_{2}^{(2)}Q_{1}^{(0)}} \nonumber \\
& & &+& \rm{P_{3}^{(2)}Q_{1}^{(0)}} + \rm{P_{3}^{(2)}Q_{2}^{(1)}} + \rm{P_{4}^{(2)}Q_{2}^{(1)}}
+ \rm{P_{4}^{(2)}C} \nonumber \\
\end{eqnarray}
が成立する。
この操作を何回繰り返しても，折れ線の長さの和は常に一定で辺\( \rm{AB} \)と \( \rm{ AC } \)の長さの和に等しい。
この操作を無限に繰り返すと，折れ線は辺BCと一致するように埋め込まれる。すなわち，
「\( \rm{ AB + AC = BC } \)」という関係が成立する。
無限の世界では「\( \rm{ 1+1=1 } \)」は正しい等式である。（? ? ?）
これに少し関連する話として，フラクタル次元について紹介しよう。
次元とは，「点の位置を表すのに必要な座標の数」のことである。すなわち，直線は1次元，平面は2次元，空間は3次元ということになる。
今から1世紀ほど前（1890年），ペアノは“ペアノ曲線”と呼ばれる正方形を埋め尽くす連続な曲線を発見した。（右図参照）
ペアノ曲線は曲線だから“1次元”なのか，それとも正方形を埋め尽くしているのだから“2次元”なのか。複雑に入り組んだ線，例えばフラクタル図形に対して，次元（相似次元）をどう定義すべきか。
1次元で線分を2倍にすると長さは2倍，2次元で正方形を2倍にすると面積は22倍，3次元で立方体を2倍にすると体積は23倍になる。これを一般化して，次のように次元をとらえることができよう。ある図形をr倍に相似拡大すると，その大きさがrd倍になる指数dを，その図形の次元と定めよう。
上図のような図形を考える。まず，正三角形ABCを考える。この正三角形から各辺の中点を結んでできる正三角形を1個取り除いて，3つの正三角形からなる図形を考える。次にその3つの正三角形から各辺の中点を結んでできる正三角形を3個取り除いて9個の小さな正三角形からなる図形を考える。この操作を繰り返してできる図形を考える。この図形をXとする。この図形の面積は0である。実際に，△ABCの面積をSとすれば，取り除かれた正三角形の面積の総和は
S+3? S+32? S+?= =S
である。この図形Xを2倍に拡大すると，大きさが3倍になるので，2d=3，すなわち
d=log23= =1.5849625?
である。この次元の定義は，相似な図形に限る。もっと一般的な次元の定義とし，ハウスドルフ次元がある。（難しくて私もよくわからない）
一般に，整数とは限らない次元をフラクタル次元という。
右図のように，二等辺三角形ABCから順に正三角形を1個，2個，22個，23個，??を取り除いてできるコッホ曲線は，( )d=2より，その次元がd= =1.26 ??である。
このようにして，いろいろなフラクタル図形の次元が計算できる。1次元と2次元の間に新しい次元を考えるというアイディアがすばらしい。
